Los ejemplos clásicos Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal, como ejemplo de función continua pero no diferenciable en ningún punto. Sucesivos pasos de la construcción de la Curva de Koch Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica. Dichos ejemplos podían construirse partiendo de una figura inicial (semilla), a la que se aplicaban una serie de construcciones geométricas sencillas. La serie de figuras obtenidas se aproximaba a una figura límite que correspondía a lo que hoy llamamos conjunto fractal. Así, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. En 1915, Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año después, su alfombra. Construcción de la alfombra de Sierpinski:

Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot La familia de conjuntos de Julia {\displaystyle \{f_{c}\}} \{f_{c}\}, asociadas a la reiteración de funciones de la forma {\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c} f_{c}(z)=z^{2}+c presenta conjuntos de una variedad sorprendente. Dicha familia tendrá especial relevancia al quedar parametrizada en un mapa de fractales, popularizado en los años 1980, llamado conjunto de Mandelbrot. Este conjunto M representa un mapa en que cada pixel, correspondiente a un valor del parámetro {\displaystyle c\in \mathbb {C} } c\in {\mathbb {C}}, se colorea de modo que refleje una propiedad básica del conjunto de Julia asociado a {\displaystyle f_{c}} f_{c}. En concreto, {\displaystyle c\in M} c\in M si el conjunto de Julia asociado a {\displaystyle f_{c}} f_{c} es conexo. Iterando funciones de forma alternativa se generan los fractales oscilantes. El método de Mandelbrot: diferentes fractales iterando potencias de Z A continuación se muestra una serie de fractales de las diferentes potencias de Z = Zm + C , según el método de Mandelbrot. Todos los puntos del plano complejo C=(Cx,iCy) son iterados por adición a la función correspondiente. Todas las iteraciones parten de los puntos x=0 iy=0. Cuando la iteración converge se colorea de amarillo pálido. La divergencia a infinito es coloreada mediante un patrón cromático desde el negro al azul. El fractal derivado de la función Z = Z2 + C se denomina conjunto de Mandelbrot. Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot Z = Zm + C

El método de Mandelbrot: diferentes fractales iterando potencias de Z A continuación se muestra una serie de fractales de las diferentes potencias de Z = Zm + C , según el método de Mandelbrot. Todos los puntos del plano complejo C=(Cx,iCy) son iterados por adición a la función correspondiente. Todas las iteraciones parten de los puntos x=0 iy=0. Cuando la iteración converge se colorea de amarillo pálido. La divergencia a infinito es coloreada mediante un patrón cromático desde el negro al azul. El fractal derivado de la función Z = Z2 + C se denomina conjunto de Mandelbrot. Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot Z = Zm + C El método de Julia: diferentes fractales iterando potencias de Z A continuación se muestra una serie de fractales de las diferentes potencias de Z = Zm + C, según el método de Julia, por el matemático francés Gaston Julia. Todos los puntos del plano complejo Z=(x,iy) son iterados en la función correspondiente. A todas las iteraciones se le añade una constante arbitraria (Cx,iCy) de tal modo que la elección de la constante "semilla" determina de forma unívoca la forma y el color del fractal, una vez ha sido definido el patrón cromático. En los ejemplos mostrados a continuación se ha elegido una constante tal que solo produce divergencia, y se ha coloreado con el algoritmo de la velocidad de escape. Ejemplos de fractales del tipo Julia Z = Zm + C !